过抛物线y^2=4x焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点轨迹方程

y^2=4x,说明焦点在X轴的正半轴上,
4=2P,P=2,准线方程X=-P/2=1.
则焦点坐标为(1,0),
而直线L经过焦点(1,0),设直线L的方程为Y=K(X-1),
令,P、Q两点的坐标分别为P(Y1^2/4,Y1),Q(Y2^2/4,Y2),
则K=(Y2-Y1)/(Y2^2/4-Y1^2/4)=4/(Y2+Y1).
而,Y=(Y2+Y1)/2.
Y1+Y2=2Y.
K=4/2Y=2/Y.
直线L的方程为Y=K(X-1),K=2/Y,
则线段PQ中点轨迹方程为:
Y=2/Y*(X-1),
即Y^2=2X-2.

焦点坐标(1,0),设直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y²=4x得：
x²-(2+4/k²)x+1=0 由韦达定理可知：x1+x2=2+4/k²,x1x2=1
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=4/k
所以PQ中点横坐标x=(x1+x2)/2=1+2/k²,纵坐标y=2/k.
y²-2x=4/k²-2-4/k²=-2
所以PQ中点轨迹方程为y²=2x-2

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